同志社中学校数学博物館

数学博物館


「DoMath 同志社中学校数学博物館」からのお知らせ
Press release(English)

 私たちは、算数・数学を手に触れたり、パズルやゲームでわかりやすく、そして楽しみながら理解できる「DoMath 同志社中学校数学博物館」を2016年5月にオープンいたしました。展示物の多くを並べた数学科オープンスペース(「数学メディアスペース」)を中心に、数学教室ゾーンを総称して、DoMathです。
 このページでは、DoMathの展示物を皆さんに紹介していきます。展示内容を知っていただくとともに、数学読み物としても楽しめる連載にしていきたいと考えています。
 発行は月2回不定期に、月日を合わせた3ないし4ケタの数字が素数の日に発信します。例えば、5月23日は523と表すことになり、523は素数です。(ちなみに、20160523=33×544879となり、素数ではありません。)

”DoMath” Doshisha Junior High School Math Museum has opened!


Now we started ”DoMath” Doshisha Junior High School Math Museum in May 2016. We hope that many students and citizens will like arithmetic and math by playing puzzles and games.

Our school have math rooms in what we call “Subject Centered Style”. We, the math department have six math rooms and media space (open space). We have enriched the display objects on the second and third floor in our school. We exhibit mathematical objects, in a place we call “DoMATH”. We want to inform people of the attraction of arithmetic and math. Many objects of exhibition are teacher’s works and student’s works from math class.

リリース文(PDF)はこちら
リーフレット(PDF)はこちら

DoMATHがメディアに紹介されました

DoMATH 見学会を実施します!
 12月2日(土)に>DoMATH 見学会を実施します。

詳細はこちら(PDF)
  • ルートトランプ

    2017/11/09 NEW
     今日11月9日を1109と4ケタの数で表すと、1109は素数です。西暦を含めた20171109は、3×7×751×1279と4つの素数に分解されるので、素数ではありません。

     本校数学科は、平方根を楽しく学べる学習教材「ルートトランプ」を2014年春より製作、頒布を始めました。2017年11月現在、全国47都道府県で中学校を中心に2400個以上のご利用をいただいています。
     DoMATH2階メディアスペースには、カードを拡大したものを掲示しています。スートとともに書かれた4つの数はどれも同じ値「2」を示しています。
    ルートトランプ1

    式1
     ルート1(root1)からルート75(root75)まで13種類のカードがありますから、普通のトランプで遊べるゲームは全てできます。ルート4(root1)= 2がありますから、「大富豪」だって楽しめるのです。
     平方根をまだ学んでいない小学生の皆さんは、√の隣にある数を中に入れるときは2乗すること、√の中にある数どうしは普通にかけ算できること、この2つをルールとして覚えてください。中学生、お家の方と一緒に楽しめます。
     (数学科 園田)
    ルートトランプ2


    “Square Root Cards”
    We made “Square Root Cards” to help study math with 9th grade students in 2014. Students can study square root happily using this card game.
    Many schools in all the prefectures in Japan use more than 2400 sets at present.
    We show some big cards on the second floor in DoMATH. The 4 cards
    mean the same value as follows.
    式1
    This card game consist of 13 kinds of cards, so we can play same the kinds of games as normal card games, such as Concentration, Old Maid, Sevens, Daifugo (Japanese card game) , and so on.
    For elementary school students, you can also enjoy “Square Root Cards” with your family by knowing 2 rules, one is that we square the number when we put natural number into √ , the other is that we can multiply numbers in √ with each other.
    Let’s enjoy it!
    by Tsuyoshi Sonoda (Math Dept.)

    ルートトランプ2

    このページの先頭へ

  • マトリョーシカ人形は相似形

    2017/10/31 
     今日10月31日を1031と4ケタの数で表すと、1031は素数です。西暦を含めた20171031は、3と37と181721という3つの素数で割り切れるので、素数ではありません。

    マトリョーシカ人形は相似形

     ご存じの方も多いと思いますが、「マトリョーシカ人形」(ロシア語: Матрёшк、英語: Matryoshka doll)はロシアの民芸品です。
     2分割の人形が3〜5個重なったしくみになっており、外側の人形の上半身を外すと、小さい人形が次々に現れるようになっています。
     それぞれの大きさの人形のサイズを測ってみると、だいたい相似の関係にありました。高さや円周の長さの比がほぼ同じだということです。
     マトリョーシカという名称は、ロシアの女性名からきていて、スカーフ姿の若い女性の像が描かれているデザインがポピュラーですが、レーニンをはじめロシア・ソ連の歴代指導者が描かれたものや、動物など人間以外のものが描かれたものなど、絵柄は多様化してきています。本校では一般的なデザインの他、国立新美術館(東京)で購入したペンギンやマオリ族をデザインしたマトリョーシカ人形も3階MS(メディアスペース)に展示しています。また、日本にもマトリョーシカ人形と同じ作りでだるまなどの入れ子人形があります。
     (数学科 園田)

    “Matryoshka dolls are similar figures.”
    Many Japanese people know that Matryoshka dolls are a folk craft made in Russia. The biggest doll includes 3 or 5 similar figures. When I measure the size, height and length of the circumference, of every doll, it is similar.
    The name “Matryoshka”is named after a name of Russian lady, so the design of the scarf is popular with young ladies. Recently there are various designs, for example, leaders of Russia like Lenin and animals. We have a set of normal design’s, penguin’s and Maori people on the third floor in DoMATH.
    Please check it!
    by Tsuyoshi Sonoda (Math Dept.)

    このページの先頭へ

  • 2進法ソーター

    2017/10/21 
     今日10月21日を1021と4ケタの数で表すと、1021は素数です。西暦を含めた20171021は13で割り切れるので、素数ではありません。(10/21は土曜日のため、今回は10/23に発信しました。)

     東京理科大学数学体験館の講座で「2進数ソーター」というツールを紹介され、本校でも作ってみました。これは、本ブログ2016年9月7日付で紹介した『誕生日当てゲーム』と原理は同じです。

    2進法ソーター1

     右下のA〜Dのカードは、ある規則を持った数の集まりです。
     まず、相手に1から15までで好きな数を1つ思い浮かべてもらいます。次に、その数がAからDのカードに書いてあるかないかを順に聞いていきます。
     原理を知っている人は、ここまでで相手の考えている数がわかります。今回は2進法ソーターがそれを当てます。
     2進数ソーター(右写真)には1から15までの数が書かれた板が手前から奥に入っています。この遊び方を「10」の場合で紹介します。10はBとDのカードにあり、AとCにはありません。
     2進法ソーターの穴は右からAからDに対応しています。右から順に(B、Dの順)、10があるカードの記号の穴に棒を入れて板を持ち上げます。棒にひっかかったパネルを持ち上げ、手前に持ってきます。
     これで10が1番前に出てきて、見事に当てることができました。
     DoMATHに展示していますので、ぜひチャレンジしてみてください。
    (数学科 園田)


    “Card sorter to guess the number”
    Today, we will introduce about a game tool to guess the number using a binary system.
    The game tool (figure1) consists of 15 panels with the numbers 1 to 15 written on them. There are 4 holes in each panel corresponding to “A” through ”D”. We can play the game by using this tool and 4 cards (figure2) that show different numbers each other.br>
    First, the player chooses a number and the cards that show that number. For example, if the players chooses 10. the number is written on cards “B” and ”D”.
    Then, we put a wooden pole into the holes in the panels and pull them up and put those panels in the front. Lastly, the panel that shows the number 10 will be in the front.

    2進法ソーター2

    This game tool applies the binary number system used by computers. We introduced other game in our blog on September 7th, 2016. It has a same principle with this card sorter.
    We exhibits it in DoMATH.
    Let’s try it together!
    by Tsuyoshi Sonoda (Math Dept.)

    このページの先頭へ

  • 自然数の3乗の和はどうなる?

    2017/09/19 
     今日9月19日を919と3ケタの数で表すと、919は素数です。西暦を含めた20170919は1009と19991という2つの素数の積で表されるので、素数ではありません。

    自然数の3乗の和はどうなる?1

     1³+2³+3³+・・・+○³ = ?
     この合計はいくつになるでしょうか。

     上の模型(fig.1)は、○=5 の場合を小さな立方体のピースで表したものです。

     すべての小さな立方体の合計は、
      1³+2³+3³+4³+5³
     =1+8+27+64+125
     =225 (個)

    となりますね。
     この模型は、○=5 の場合のものなので、 という数に注目してください。
     この模型を平面上に並べると、なんと正方形が出現します! (fig.2)

    自然数の3乗の和はどうなる?2

     だから、合計は

      1³+2³+3³+4³+5³
     (1+2+3+4+5)²
     =15²
     =225(個)

    と求めることができますね。
     また、高校では以下の公式を学びます。
      {×(+1)÷2}²
     
    (数学科 園田)


    “What is the sum of natural numbers cubed?”
    Let's talk about the sum of natural numbers cubed.

    1³+2³+3³+・・・+○³ = ?

    We will think about above expression.
    I show the model in the case of n = 5 shown in fig.1.
    The sum of small cubes looks like this.

      1³+2³+3³+4³+5³
     =1+8+27+64+125
     =225 (pieces)

    Next, I put the all pieces of cube on a plane, those make a square. (fig.2)
    Then we can find the sum of small cubes like this.

      1³+2³+3³+4³+5³
     (1+2+3+4+5)²
     =15²
     =225 (pieces)

    So we also can get the following formula.
      {×(+1)÷2}²

    自然数の3乗の和はどうなる?3

    by Tsuyoshi Sonoda (Math Dept.)

    このページの先頭へ

  • 展開・因数分解パズル3

    2017/09/07 
     今日9月7日を907と3ケタの数で表すと、907は素数です。西暦を含めた20170907は823と24509という2つの素数で割り切れるので、素数ではありません。3ケタ以上の素数はプログラムを用いないとすぐには発見できませんね。

    展開・因数分解パズルの第3弾です。
    展開・因数分解パズルvol3-1

     前回のお話で、このパズルが展開・因数分解をイメージしているものであることはおわかりいただけたと思います。
     そして、このパズルをより抽象的、象徴的に表したものが面積図や直積表と呼んでいるものになります。
     (figure2、figure3)

     皆さん、今までは式の中の数値が「+」(プラス)であることを前提にお話をすすめてきましたが、今回は、項がに「−」(マイナス)があるとき(係数や定数項が負の場合)について考えてみます。実は、今までと同じように直積表で解決することができます。「+」(プラス)のときと同じように長さとして考えればよいのです。

     x²+5x−14 の因数分解について、実際に解きながら考えてみましょう。
     まず、x² と −14 を直積表の左上と右下に記入します。−14 は負の項なので、直積表では赤い枠で表現しています。
    展開・因数分解パズルvol3-2  かけて−14になる数を展開・因数分解パズルvol3-4展開・因数分解パズルvol3-5にあてはめて、右上と左下の合計が+5xになる組を探します。
    (+1, −14)、(−1, +14)、(+2, −7)、(−2, +7)の4組をあてはめて、(−2, +7)の組み合わせが正解とわかります。

     展開・因数分解が解けることはひらめきや才能と関連があると思っている方もいらっしゃるかもしれません。そうではありません。今の操作を下図に示しました。この問題は最大4回の試行錯誤で必ず正解が出るのです。因数分解パズルで、試行錯誤して正解を見つけることを楽しんでください。(数学科 園田)

    展開・因数分解パズルvol3-3
    “Expansion & Factorization puzzle 3”
    We can use negative numbers as a 2nd step. x²+5x-14 = (x-2) (x+7)
    Write “direct product table”, “x²“ and “-14” in the frame, “x” and “x” left and above the upper left box, the same as in example 1.
    With trial and error, then we can solve it.
    Think of the numbers of 展開・因数分解パズルvol3-4 and 展開・因数分解パズルvol3-5. The numbers times each other is -14. (+1, -14),(-1, +14), (+2,-7) and (-2, +7) groups are considered. At first, I write +1 and -14 in the blank. Then the amount of term of x is -13x. So I know that +1 and -14 are incorrect.
    After several trial and errors, I write -2 and +7. The amount of term of x is +5x. So I know -2 and +7 are correct.
    I think that an ability of solving expansion & factorization is not connected with talent of math. We can solve this problem by trial and error less than four times.
    Please try and enjoy this puzzle!

    このページの先頭へ

  • 展開・因数分解パズル2

    2017/07/01 
     明日7月1日を701と3ケタの数で表すと、701は素数です。西暦を含めた20170701は3と23と401という3つの素数で割り切れるので、素数ではありません。(明日は土曜日のため今回は前日6/30に発信しました。)次回の発信は9月7日(木)を予定しています。

    展開・因数分解パズルvol2

     前回、皆さんに直積表を利用して因数分解を理解するパズルを紹介しましたね。今回はその第2弾です。
     このパズルの3種類の板は、
      黄 :一辺xの正方形、面積
     ピンク:一辺がxと1の長方形、面積x
      緑 :一辺1の正方形、面積1
    です。
     したがって、右の図で、板の種類ごとに面積を表せば、2x²+7x+6となりますし、大きな1つの長方形の面積と考えると、(x+2)(2x+3)となり、2通りの表現で面積を示すことができますね。
     これが展開と因数分解の正体です。また、このパズルを簡単に表した(抽象化した)のが直積表です。たすきがけよりも展開・因数分解のしくみが可視化されていますよね。
    (数学科 園田)

    “Expansion & Factorization puzzle 2”
    The last time, I showed “Expansion & Factorization puzzle”. This time, I will explain the structure of expansion & factorization using this puzzle. Look at the puzzle in “figure1”. “” is an area of a square of a side x, “x” is an area of a rectangle with each side of x and 1. “1” is a squares of a side 1. We can say the total area of those pieces is “2x²+7x+6” and can also say “(x+2)(2x+3)”.
    This is the true colors of Expansion & Factorization. And “a direct product table” is a model of this puzzle. This model visualizes the structure more clearly than “tasuki - gake”.

    このページの先頭へ

  • 展開・因数分解パズル

    2017/06/19 
     今日6月19日を619と3ケタの数で表すと、619は素数です。西暦を含めた20170619は7と17と169501でという3つの素数で割り切れるので、素数ではありません。

     多くの大人の皆さんは中学生、高校生のときに、展開・因数分解をおそらく「たすきがけ」という方法で教えられていると思います。日本の学校では、とくに高校ではほぼたすきがけで教えられています。それは、教科書にはたすきがけ(図1)の方法しか記されていないからで、多くの大人は直積表(図2)を使って教えられた経験がありません。一方、欧米では直積表を使う指導が一般的です。

    展開・因数分解パズル1

    展開・因数分解パズル2

     右の図を見てください。直積表を使って考えると、この図3のように因数分解を長方形のタテとヨコの長さとして認識できるからです。
     DoMATHには、展開・因数分解パズルがあります。黄○枚、ピンク○枚、緑○枚を使って1つの長方形を作ろうという課題が提示されていて、楽しみながら展開・因数分解の概念を理解することができます。
     大人の皆さんも生徒・学生の皆さんもこのパズルを楽しんでください。
    (数学科 園田)

    展開・因数分解パズル3


    “Expansion & Factorization puzzle”
    Many people have studied expansion & factorization by using fig.1, “tasuki - gake” in Japan, especially in high school. Because Japanese official textbooks authorized by the Japanese government describe only one way of teaching fig.1, many Japanese teachers do not know the way of using fig.2. But many people in Europe study expansion & factorization by using fig.2, “a direct product table”
    Please check fig.3.
    When you think about a factorization problem by using a direct product table, you can recognize numbers and expressions as length and area of a rectangle.
    We have Expansion & Factorization puzzle in our DoMATH. You can see the meaning of expansion and factorization playing with this puzzle.
    Let’s try it together!

    このページの先頭へ

  • しきつめ

    2017/06/13 
     今日6月13日を613と3ケタの数で表すと、613は素数です。西暦を含めた20170613は113と178501という2つの素数で割り切れるので、素数ではありません。

    しきつめ1

     皆さんは「しきつめ」を知っていますか。1種類または数種類の合同な図形で平面をすきまなくしきつめていくことです。正六角形をしきつめたハニカム構造もその一つです。1種類の多角形でしきつめるときは、どんな多角形でもできるわけではありません。しかし、三角形と四角形はうまく並べると、必ず平面をしきつめることができます。これをデザインとして応用したのがエッシャー(1898 - 1972)です。彼がしきつめデザインの作品を多く発表したので、しきつめは「エッシャー図形」として有名になりました。自分で書くときは、平行四辺形やひし形から模様を書き始めると作りやすいです。

    しきつめ2

     ニューヨークの数学博物館MOMATHが、しきつめ用のいろんな形のパーツを販売しています。先日、うさぎとさるのパーツを買ってきました。 数学ステーション(数学科教員室)入口のホワイトボードに貼ってあります。
     ぜひチャレンジしてください。
    (数学科 園田)
    “Tessellation”
    Do you know tessellation?
    A tessellation is the making of a tile plane using one or more geometric shapes.
    You may have seen honeycomb structures like the figure. We can make of a tile plane using triangles and quadrangles. Escher (1898 - 1972) was famous for tessellation designs.
    MoMATH sells pieces that we can use to make tessellation on a flat surface. I bought pieces in the forms of a rabbits and horses. Those are on the wall near the Math station (math teacher’s room) on the 3rd floor.
    Please come to DoMATH and try them!

    このページの先頭へ

  • 視力検査

    2017/05/23 
     今日5月23日を523と3ケタの数で表すと、523は素数です。西暦を含めた20170523は3187と6329の2つの素数で割り切れるので、素数ではありません。

     皆さん、普通の視力検査では壁に検査表が貼ってあって、表の中の文字や記号が下に行くほど小さくなっていますよね。私たちがよく見る表では最下段は2.0となっていて、それ以上の視力を測ることはできません。実は、ほんとうの視力の決定方法(「定義」と言います)は次のように決まっています。

    視力検査1

     ランドルト環という大きさの決まった記号「」を5メートル離れたところで見分けられると、視力は1.0です。そして、ランドルト環の大きさは変えずに、人が10メートルに離れたところで見分けることができると、視力は2.0です。そうです、視力と距離は比例しているのです。ランドルト環は眼科医エドムント・ランドルト (スイス 1846−1926) によって開発され、彼の名前がそのまま名称となりました。

    視力検査2

     本校3階数学教室前の廊下には西の壁に貼ってあるランドルト環からの距離を示してあります。5メートルおきに25メートルまで示してあるので、一度皆さんもチャレンジしてください。
    (数学科 園田)
    “Visual acuity testing”
    We always see the chart for visual acuity on the wall. Characters or symbols get smaller as we look at the chart from top to bottom. In many cases, we can’t measure visual acuity of more than 2.0.
    We will tell you about definition of visual acuity. If you can see “”(a Landolt C) at a distance of 5 meters, your visual acuity is 1.0. If you can see it at the same size at 10 meters, your visual acuity is 2.0. You will see that visual acuity is in proportion to distance. A Landolt C is a symbol of an optotype that was developed by the Swiss-born ophthalmologist Edmund Landolt (1846−1926).
    There is a Landolt C on the wall of the hallway on the 3rd floor. We indicate a distance from it, at 5, 10, 15, 20, and 25 meters on the floor.
    Please come to DoMATH and try!

    このページの先頭へ

  • 2のn乗

    2017/05/09 
     今日5月9日を509と3ケタの数で表すと、509は素数です。西暦を含めた20170509は3で割り切れるので(3×6723503)、素数ではありません。

    2のn乗1

     2¹、2²、2³から236までの数値をさまざまなもので表した展示です。最初のほうは、ビー玉や米粒をその個数分を実際に瓶に入れて展示していますが、値が大きくなるとイメージ写真で展示しています。米粒は一合(150g)が約6500粒ということがインターネットで調べてわかりました。一部(2の20乗から30乗)を紹介します。

     2の20乗 - 104万8576   エクセル画面の行数
     2の21乗 - 209万7152   長野県の人口209万人
     2の22乗 - 419万4304   宇宙最速の白色矮星「US 708」、420万km/時
     2の23乗 - 838万8608   ブラジル国土851万km²
     2の24乗 - 1677万7216   オランダ人口、約1700万人
     2の25乗 - 3355万4432   錦織圭さんの年収3350万ドル(フォーブズ2016長者番付)
     2の26乗 - 6710万8864   NASA深宇宙探査向けに高度ソーラー電気推進システム6700万ドル
     2の27乗 - 1億3421万7728 世界で1年間に産まれる子ども約1億3000万人
     2の28乗 - 2億6843万5456 世界の食肉生産量2.7億トン(豚・鶏・牛 FAO 2013)
     2の29乗 - 5億3687万0912 カンブリア紀 5億5千万年前−5億年前
     2の30乗 - 10億7374万1824 Lenovo 10億7000万色表示できるテレビ

     この展示は、ドイツの数学博物館「Mathematikum」にあったものを参考に作りました。
     (数学科 園田)

    2のn乗2

    “2 to the nth power”
    We have the exhibition of 2 to the nth power.
    We made them by using marbles, grains of rice and photos.
    For example, 6500 grains of rice weigh around 150 grams.
    We will introduce some.

     2^20 - 1,048,576  the number of rows of Excel
     2^21 - 2,097,152  the population of Nagano prefecture
     2^22 - 4,194,304  the velocity of “US 708”, the Galaxy’s fastest-moving white dwarf star
     2^23 - 8,388,608  the area of Brazil
     2^24 - 16,777,216  the population of Netherlands
     2^25 - 33,554,432  Mr Nishikori Kei’s annual income (Forbes 2016)
     2^26 - 67,108,864  The Solar propulsion system for Space launch developed by NASA
     2^27 - 134,217,728  the number of children born every year in the world
     2^28 - 268,435,456  meat production in every year(pork・chicken・beef FAO 2013)
     2^29 - 536,870,912  Cambrian period
     2^30 - 1,073,741,824 the number of colour of TVs made by Lenovo Corporation

    このページの先頭へ

  • 円周率ポスター

    2017/04/21 
     今日4月21日を421と3ケタの数で表すと、421は素数です。西暦を含めた20170421もなんと素数です!

    円周率ポスター1

     2階MS(メディアスペース)に、円周率1万桁が記された雑誌のページを拡大したポスターを掲示しています。円周率が1万桁(けた)あれば、4桁で表される自分の誕生日や記念日か見つかる可能性が高いです。同志社の創立記念日11月29日(1129)、憲法記念日5月3日(0503)も見つかります。皆さんも自分の誕生日や家族の記念日を探してみてください。元ネタは「月刊円周率」(暗黒通信団発行)という雑誌です。雑誌の名前もおもしろいでしょう。
     さらに、2階廊下(数学1教室と数学2教室の間)には、なんと円周率が5万桁書かれたポスターが展示されています。左上から、3.141592…と始まり、右下に5万桁目の数字1が書かれています。円周率は5万桁以降も無限に続く「無理数」と分類される数です。
     このポスターはドイツ・フランクフルトの近く、ギーセンにある数学博物館で購入しました。この数学博物館Mathematikum(マスマティクム)を訪問したことが本校で博物館を作ろうと思い立ったきっかけです。(数学科 園田)

    円周率ポスター2



    “The posters of pi”
    We have a poster which shows 10000 digit of pi in our math museum on 2nd floor. Maybe you can find your birthday and memorial days written in 4 digit number in this poster. And you can find 29th November (1129) that is the day our school Doshisha was founded, 3rd May (0503) that is constitution day of Japan.
    We have another poster of pi. 50000 digit of pi is written on the wall of the hallway. I went to German math museum “Mathematikum” at Guisen and bought it. I visited there and had an idea to make math museum in our school.

    このページの先頭へ

  • 見た目の形と距離の関係 〜2016自由研究作品1〜

    2017/03/10(次回は4月中旬に発信します) 
     明日3月11日を311と3ケタの数で表すと、311は素数です。西暦を含めた20170311は、3と7、43、そして3191で割ることができるので素数ではありません。(3/11は土曜日のため、今回は前日3/10に発信しました。)

     今回は、夏の自由研究で、Rimse理数教育研究所主催「算数・数学の自由研究」作品全国コンクールで奨励賞を受賞された池田はるなさん(2年生)の作品を紹介します。
     (主催者HP http://www.rimse.or.jp/research/past/winner4th.html

    見た目の形と距離の関係1

     テーマは「見た目の形と距離の関係 〜地面のタイルまでの距離が遠くなると,タイルが平たく見えるのはなぜだろう??〜」 です。
     例えば、床の正方形のタイルを離れて見ていくと、形がだんだん平たくかつ台形に見えてきます。この現象を理解するには相似の関係とピタゴラスの定理、そして三角比の考え方が必要です。この原理を研究した池田さんのレポートはイラストや写真が多用されていて、たいへんわかりやすく仕上がっています。
     池田さんは昨年の自由研究でも、「コップの容積をパッ!と求めるには!?」というテーマで、誰が読んでもわかりやすい表現で身の回りの疑問を中学生の数学を使って分析されていました。
     彼女の作品は立志館2階数学MS1に展示してあります。
    (数学科 園田)

    見た目の形と距離の関係2

    “Relativity of the shape of appearance and distance”
    This is the title of a student’s research during the last summer vacation part1. We will introduce our student’s research work. Ikeda Haruna san (8th grade) got a prize in the competition by “Rimse” Research Institute of Mathematics and Science Education.
    The title of research is“Relativity of the shape of appearance and distance - why is that the more the distance is until the tile on the ground, the more flat it seems become?”
    When we see a square from a distance, it looks like a trapezoid. We need the theory of similarity, and Pythagorean theorem and a trigonometric ratio to understand this problem. She used many illustrations and photos, so we can understand her research content clearly.
    Her research is exhibited on the second floor in our math space.

    このページの先頭へ

  • 4つの数から四則演算で1つの数を作る

    2017/02/27 
     今日2月27日を227と3ケタの数で表すと、227は素数です。西暦を含めた20170227は、3×7×11×87317と素因数分解できるので素数ではありません。

     今回は、隔月で廊下と数学教室に掲示している数学クイズ「マスマス発展講座」2017年2月の問題を紹介します。
     4つの4から四則演算で1つの数を作る遊びがあります。(英語では Four fours) 例えば、2を作るときは、4×4÷(4+4)=2 となります。 今回は、次の4つの数から10を作ることにチャレンジしてください。

    4つの数から四則演算で1つの数を作る1

     (1)1、9、1、9を使って、10を作ってください。
     (2)3、4、7、8を使って、10を作ってください。
      答えを以下に示します。
     (1)(1÷9+1)×9=10
     (2)(3−7÷4)×8=10
     すでに何人かの生徒たちが正解を持ってきてくれています。この問題は、試行錯誤の中で答えが出てきます。また、今回の問題は答えがありますが、選ばれた4つの数からすべての数が計算できるわけではありません。まさに「数学」ですね。公式の暗記で素早く答えを出すのが数学ではありません。ゆっくりじっくり考えてみましょう。
     今月の解答者の中に、この問題の答えを計算するプログラムを作ってきた人がいました。現在3年生の青木隆史さんです。私がこのブログで使っている素数判定プログラム「PrimeFactorization」を作ってくれたのも彼です。
     今回の計算結果の画面とプログラムコードの一部を紹介しますね。
    (数学科 園田)
    “Finding the simplest mathematical expression by using four numbers from 1-9 and only common mathematical symbols”
    We will talk about math quiz of February “Masu masu hatten koza” exhibited on the wall in DoMath. Do you know the math puzzle “Four fours”? For example, “Make 2 by using four fours”, the solution is “4×4÷(4+4)”. We asked our students,

    4つの数から四則演算で1つの数を作る2


    (1)Make 10 by using 1, 9, 1, 9
    (2)Make 10 by using 3, 4, 7, 8
    The answers are the following.
    (1)(1÷9+1)×9=10
    (2)(3−7÷4)×8=10
    Some students answered to us. To solve the these problems, use trial and error and find answer. Please think hard and use trial and error.
    One student made a program code to solve this problem. He is Mr. Aoki Takashi san (9th grade). He also made the program code “PrimeFactorization” to do the factorization in prime numbers that I usually use.
    We will introduce the screenshots of the results of his calculations and the code he made in this blog.

    このページの先頭へ

  • 変てこ時計

    2017/02/23 
     今日2月23日を223と3ケタの数で表すと、223は素数です。なんと西暦を含めた20170223も素数です。しかし、2月は素数で表せる日の少ない月です。2/11、 2/23 、2/27、 2/29、うるう年でも4日しかありません。

     数学ゾーンの4箇所の入り口には、変わった時計が掛けてあります。
     1種類(日本製)は鏡文字で数字が書かれています。2階数学ゾーン入口に掛けてあります。廊下の反対側に鏡を置いているので、鏡越しに時計を見てください。
     もう1種類(アメリカ製)はいろいろな表記で1から12が刻まれています。1時は「102413−10241」、2時は「root1」、3時は「66root198」というふうに表示されています。(数学科 園田)

    “The curious clocks”
    There are strange clocks on the wall at the entrance of Do MATH.
    One clock (made in Japan) in the east on the second floor has numbers written in mirror writing. We placed a mirror at the opposite side of the hallway, so we can see the real characters in the clock through the mirror.
    The other is made in USA. The numbers are described in various ways. For example, 1 is “102413−102412”, 2 is “root1”, 3 is “66root198”.

    変てこ時計1

    変てこ時計2

    このページの先頭へ

  • 立方体パズル

    2017/01/27 
     皆さま、明けましておめでとうございます。本年もどうぞよろしくお願いいたします。
     今日1月27日を127と3ケタの数で表すと、127は素数です。西暦を含めた20170127は、151×223×599と素因数分解できるので素数ではありません。

    立方体パズル1


    立方体パズル2

     4種類8つのパーツを一つの立方体に組み立てて遊びます。
     この操作は、x³+3x²y+3xy²+y³ … (1) という式(「展開」された状態)が、(x+y)³ … (2) という式(「因数分解」された状態)同じであることを意味しています。(1)の式とパーツの関係を見ていきましょう。(1)の式のx³は1辺の長さがxの立方体の体積、3x²yが各辺x、x、yの直方体3個分の体積、3xy²が各辺x、y、yの直方体3個分の体積、y³が1辺yの立方体の体積を表しているのです。
     もうおわかりですね。最初、ばらばらに置かれた状態が展開の式(1)です。組み立てられて1辺の長さx+yの立方体になった状態が因数分解の式(2)です。
     数学博物館には、2次式の因数分解を説明する平板の「展開・因数分解パズル」もあります。
     ぜひ体験しにいらっしゃってください。(数学科 園田)

    “The cube puzzle”
     We play this cube puzzle by gathering 8 parts composed of 4 kinds of blocks. This activity means that x³+3x²y+3xy²+y³…(1) is the same value as (x+y)³…(2). We can see that “x³” is the volume of a cube with sides x, “3x²y” is the volume of 3 rectangular solids with each side x, x and y, “3xy²” is the volume of 3 rectangular solids with each sides of x and y and y, “y³” is the volume of a cube with sides y.
     So you can see that expression (1) means expansion and expression (2) means factorization by making a big cube with side (x+y).
     We have another puzzle that explains expression and factorization in DoMATH.
     Let’s try it together!

    このページの先頭へ

  • ダイヤグラム

    2016/12/13 
     本日12月13日を1213と4ケタの数で表すと、1213は素数です。西暦を含めた20161213は、73×276181と素因数分解できるので素数ではありません。

     今回は、2016年度3年生の中嶋菊之くんが自由研究で作成したJR北陸本線と琵琶湖線(東海道本線)、敦賀(つるが)から京都までのダイヤグラムを紹介します。ダイヤグラムとは、時刻表をグラフで表したものです。
     縦軸は距離(駅名)、横軸は時間です。普通、快速、新快速、特急の4種別の列車を、それぞれ黒、青、赤、緑と区別しています。始発から終電までの全旅客列車のスケジュールが入っていて、駅での停車時間もわかります。昔は、ダイヤグラム専門の職人(「スジ屋」と呼ばれているそうです。映画「交渉人 真下正義」では「線引き屋」という名前で登場していました。)が鉛筆とものさしを使い、知識と経験を駆使して書いていました。中嶋くんも「スジひき」と表現しています。今、ダイヤグラムはコンピュータを使って作成されています。  2年生で学習する「一次関数」の知識があれば、より深く楽しめます。

    <中嶋くんの作成したダイヤグラム>
     誌面の関係で、半分(始発から16時台まで)を紹介します。

    ダイヤグラム1


    <参考>
    京王線「新宿−八王子」間の時刻表(左)とダイヤグラム(右)

    ダイヤグラム2

    “Diagram”
    This graph is a “Diagram”, which shows the time table of the JR Hokuriku line and Biwako line (Tokaido line) from Tsuruga station to Kyoto station, made by Nakajima Kikuyuki san. He is in the 9th grade in 2016.
    The vertical axis shows the distance between stations. And the horizontal axis shows the time. Local trains are indicated by black lines, rapid trains are blue, special rapid trains are red and limited expresses are green. It shows all the passenger trains for a day. You can also see how long trains will stop at the station.
    In the past, there were professional craftsmen, who wrote it using pencils and straight edges. He also wrote it by pen. But now it is written by computers.
    If you have studied “Linear function”, you will be able to enjoy this diagram much more.

    このページの先頭へ

  • ルートメジャー

    2016/11/28 
     明日11月29日を1129と4ケタの数で表すと、1129は素数です。本校の創立記念日は11月29日、1129は素数でした!ちなみに、西暦を含めた20161129は、31×650359と素因数分解できるので素数ではありません。(創立記念日は休日のため、今回は前日11/28に発信しました。)

     数学メディアスペース1(2階)の壁に、「ルートメジャー」があります。模造紙をつないで作った5メートルの長さの紙に、root1メートル(1メートル)からroot2メートル(約1.4メートル)、root3メートル(約1.7メートル)と、順にroot24メートル(約4.7メートル)、root25メートル(5メートル)までの目盛りが記されています。3年生1学期の無理数の授業で、クラスごとに1シート作ったルートメジャーです。実際の平方根の大きさ(長さ)を記録することで、ルートの大きさを実感することができました。

    ルートメジャー1

    “Measure of square root”
     There is a “root square measure” on the wall of the Media Space 1 on the 2nd floor.
     The scales of the square root of 1 meter to the square root of 25 meters are indicated on the paper that is 5 meters long.
     9th grade students made one of them in each class during the 1st term.
     Students made this measure and could understand the quantum of square root.

    このページの先頭へ

  • 円周率の音楽

    円周率の音楽

    2016/11/09 
     本日11月9日を1109と4ケタの数で表すと、1109は素数です。西暦を含めた20161109は、19×43×24677と素因数分解できるので素数ではありません。

     2階数学メディアスペースの「円周率の壁」と名付けた場所に、模造紙に手書きされた楽譜が掲示してあります。これは円周率の3をミ、1をドというように数字を音に割り当て、3.141592・・・がミ、ド、ファ、ド、ソ、高いレ、レと続いていきます。3から始まる113個の音符が五線譜の上に並んでいます。作曲、編曲されたのは、現在立命館守山中学校で数学を教えている長谷川幹(はせがわつよし)さんです。ギターを使って作られたそうで、3連符となっている箇所もあります。この曲はインターネットで実際に聴くことができます。
     また、インターネットで検索すると、実は、世界では円周率を元に作られた曲がいくつかあることがわかります。世界には数学を大好きな人が大勢おられますね。

    関連URL:http://web.kyoto-inet.or.jp/people/hase_314/pi/pai.htm

    “Music of pi”
    This is a musical score on the wall at DoMATH.
    3 is assigned to E, 1 is assigned to C, 4 is assigned to F, 1 is assigned to C, 5 is assigned to G, 9 is assigned to D and 2 is assigned to D.
    There are 113 digits in this musical score. There is triplet part in the melody.
    Hasegawa - san made this melody by using a guitar. He is a math teacher at Ritsumeikan Moriyama Junior High School in Shiga prefecture.
    You can hear it on the internet. Also, we can see other melodies about pi in the world!
    It is amazing that there are many people who like mathematics very much!

    このページの先頭へ

  • 「算額」を知っていますか?

    2016/10/21 
     本日10月21日を1021と4ケタの数で表すと、1021は素数です。なんと、西暦を含めた20161021も素数です!

     毎年3月、中学3年生が問題と解答を作成し、それを記入した算額(絵馬)が「同志社中学校算額展」として三井寺(みいでら 滋賀県大津市)に掲示、紹介されています。三井寺は比叡山の山麓にあり、関西の桜の名所としても有名なお寺です。観音堂には江戸時代の「算額」が飾られていて、目の前で見ることができます。
     江戸時代に発達した日本独特の数学を「和算」と言います。武士階級だけではなく、農民も和算を学びました。彼らは年貢を計算して庄屋や代官と交渉しました。江戸時代のベストセラーと言われる庶民向け数学書「塵劫記(じんこうき)」を著した吉田光由(よしだみつよし 1598-1673)、「点竄術(てんざんじゅつ)」を発明した関孝和(せきたかかず1642-1708)、円周率を41ケタまで計算した建部賢弘(たけべかたひろ 1664-1739)など、この時代には世界に誇るべき数学者がいました。
     また江戸時代には、数学の問題を書いた「算額」を寺社に奉納する風習があり、近畿では三井寺をはじめ、北野天満宮、八坂神社、清水寺などの寺社に現存しています。
     生徒が作成した絵馬には、表面に問題、裏面に解答と作成者の名前が入っています。3年生の作った絵馬は、1年間、三井寺釈迦堂に展示された後、数学MSおよび廊下に展示しています。

    「算額」を知っていますか?1

    「算額」を知っていますか?2

    “Do you know Sangaku ?”
     “Sangaku” (votive tablet depicting a math puzzle) written by our students are exhibited at Mii-dera Temple, from March each year. They made math problems and solutions and wrote them on the board “Sangaku”. Mii-dera Temple is located at the foot of Mt.Hiei.
     “Wasan” is Japanese original mathematics developed in the Edo period. I’ll introduce three mathematicians. Yoshida Mitsuyoshi(1598-1673) published “Jinkoki” which is an introductory book of math for the people in the Edo period, Seki Takakazu(1642-1708) invented “Tenzanjutu”, the way of solution of an equation. Takebe Katahiro(1664-1739) calculated pi [π] to 41-digits.
     There were customs where people dedicated “Sangaku” in the Edo period. Now we can see them at Mii-dera Temple, Kitano Tenmangu Shrine, Yasaka-jinja Shrine and Kiyomizu-dera Temple.

    このページの先頭へ

  • 自然数の合計はどうなる?

    2016/10/13 
     本日10月13日を1013と4ケタの数で表すと、1013は素数です。なんと、西暦を含めた20161013も素数です!

    自然数の合計はどうなる?1

     1+2+3+・・・+14+15 は?
     
     ひとつずつ順に計算していくとたいへんですね。右の階段状の立体(写真1)は、上の式のモデルです。各行の立方体の個数がその行の右端に書いてあります。
     だから、階段状の板は、

     1+2+3+…+13+14+15(個)
     
    の合計を表しています。
     このまま、順にたしていくのはたいへんなので、同じ板を2枚合体させてみましょう。(写真2)
     タテが15cm、ヨコが16cmの長方形になりますね。だから、答えは、
     
     15×16÷2 = 120(個)

    自然数の合計はどうなる?2

     
    となります! 確かめてみましょう。
     数学者ガウス(ドイツ 1777−1855)は、小学生のとき、1から100までの数の合計を求める課題を出されたのですが、彼がどのように解いたか、皆さんもうおわかりですね。
     
     100×(100+1)÷2 = 5050

    “What is the sum of natural numbers?”
    1+2+3+・・・+14+15=?

    It is difficult to calculate one by one.

    There is a solid like some stairs. It is a model of the above expression. (figure1)
    The number on the right side shows the quantum of the small cubes each row.
    So this board means the sum of

    1+2+3+・・・+14+15=?

    Now we unite 2 solids into 1 and we can see a rectangle. (figure2)
    The vertical length of this rectangle is 15, the horizontal length is 16.

    So the answer is
    15×16/2=120

    There is famous story about the calculation above.
    When a mathematician, Gauss (Germany 1777-1855), was an elementary school student, his teacher asked his students to get the sum of natural number from 1 to 100. He soon solved the problem.
    You can see his way of solving.

    100×(100+1)/2=5050

    このページの先頭へ

  • 自然数の2乗の合計はどうなる?

    2016/09/29 
     本日9月29日を929と3ケタの数で表すと、929は素数です。西暦を含めた20160929は17と69761で割り切れるので、素数ではありません。皆さんも計算してみてください。

    自然数の2乗の合計はどうなる?1

     1²+2²+3²+…+○²
     と続く、自然数の2乗の合計はいくつになるのか考えてみましょう。
     実は公式があります。1から○までの自然数の2乗の合計は次のような形にまとまります。高校生、大人の方は、○の部分をkやnで学習した記憶があるのではないでしょうか。
      1²+2²+3²+…+○²
     =1+4+9+…+○²
    ×○×(○+1)×(○×2+1)
     この公式を具体的に立方体の個数として表したのが、この模型です。(写真1)白の立方体が1個、黄が4個、水色が9個、青が16個、橙が25個となっています。この模型は、5² までの合計のモデルにしたので、➄という数字に注目してください。

    自然数の2乗の合計はどうなる?2

     この模型を3セット合体すると、写真2のようになります。
     がんばって、6セット合体してみてください。写真3のような直方体になります。
     このとき、全ての立方体の個数を直方体の体積として考えることができますね。
    タテ=➄  ヨコ=➄+1  奥行き=➄×2+1
     ➄を○に直すと、公式ができますね。

    自然数の2乗の合計はどうなる?3


    “What is the sum of natural numbers squared?”
    Let's talk about the sum of natural numbers squared.
    There is a formula.

      1²+2²+3²+…+○²
     =1+4+9+…+○²
    ×○×(○+1)×(○×2+1)
    This model is specifically indicating the formula as numbers of small cubes.
    There are 1 piece of white cube, 4 pieces of yellow, 9 pieces of light blue, 16 pieces of blue and 25 pieces of orange.
    Please check the number 5 in case of n=5 on this model.
    First, we combine 3 sets of this model into 1 solid, as we can see in figure2.
    Second, we combine 6 sets of this model into 1, so we can see a rectangular parallelepiped in figure3.

    So we can see the length of the rectangular parallelepiped in figure3.
    Its height is 5, width is 5+1 and depth is 5x2+1
    When we change 5 into n, we can get the formula!

    このページの先頭へ

  • 誕生日当てゲーム

    2016/09/07 
     本日9月7日を907と3ケタの数で表すと、907は素数です。西暦を含めた20160907は13、281、5519で割り切れるので、素数ではありません。皆さんも計算してみてください。

     来館くださった子どもたちに人気なのが、誕生日当てゲームです。数字の書かれた5枚のカード(あ)から(お)があり、そこには1から31までの中で16個ずつ数字が書かれています。そして、子どもたちから自分の生まれた日付のあるカードを教えてもらうだけで、誕生日を当てることができるのです。
     種明かしをしましょう。それぞれのカードの右上には、(あ)から順に1、2、4、8、16と書いてあり、日付のあるカードの右上の数字を足せば生まれた日付になります。コンピュータで使われている2進法を応用したゲームですが、その原理を中学1年生で学んでいます。

    “A game to guess the right birthday”
    We will introduce a game to guess the right birthday. It is popular for young visitors in our exhibition. There are five cards (a), (i), (u), (e), (o) in Japanese characters. Each card shows 16 numbers from 1 to 31.
    First, a customer chooses the cards that show one's birthday in five cards.
    Next, we check the number '1', '2','4', '8' and '16' in upper right on the cards that the customer choice. We add the numbers and get one’s birthday.
    This is a game that applies the binary number system used by computers. Our 7th grade students study its principle.

    誕生日当てゲーム

    このページの先頭へ

  • 皆さんは弘中又一さんを知っていますか?

    皆さんは弘中又一さんを知っていますか?

    2016/08/23 
     本日8月23日を823と3ケタの数で表すと、823は素数です。西暦を含めた20160823は13、89、139で割り切れるので素数ではありません!

     弘中又市さん(1873-1938)は、1912年から1932年まで同志社中学校で数学の教員をしていたのですが、以前、松山中学校で働いたことがありました。(1895-1896) そして、そこには、当時、英語の教員だった夏目漱石がいたのです。そうです。弘中又一さんは夏目漱石が書いた「坊ちゃん」のモデルだったのです。
     彼の肖像画と資料が本校3階数学MSに展示してあります。

    “Do you know Hironaka Mataichi?”
    He worked as a math teacher at our school from 1912 until 1923. Before his career at our school, he worked at Matsuyama Junior High School from 1895 until 1896.
    Natsume Soseki, who is a famous Japanese writer, also worked there. So, Hironaka Mataichi is a model of 'Botchan', that is a novel of Natsume Soseki.
    We have his portrait and other data about him on the third floor in our math space.

    このページの先頭へ

  • 数学教室には名前があります

    2016/07/19 
     本日7月19日を719と3ケタの数で表すと、719は素数です。西暦を含めた20160719はなんと23で3回割り切れるので、素数ではありません。皆さんも計算してみてください。

     本校は教科センター方式の学校運営を採用しており、教科専門教室があります。数学教室は全部で6教室あり、教科ステーションと呼ぶ教員室1部屋と合わせて 7室に数学者、科学者の名前をつけています。順に、数学1「ピタゴラス」、数学2「エラトステネス」、数学3「アインシュタイン」、数学4「伊能忠敬」、数学5「ガリレオ」、数学6「アルキメデス」、教科ステーションは「オイラー」です。今後、2つのMS(メディアスペース)にも名前をつけていきます。

    “Each classroom has its own name.”
    We have six math classrooms in what we call “Subject Centered Style” in Japan.
    We gave the names of famous mathematicians or scientists to the six classrooms and the teacher’s “station” staff room.
    Math 1 is “Pythagoras”, math 2 is “Eratostenes”, math 3 is “Einstein”, math 4 is “Ino Tadataka”, math 5 is “Galileo”, math 6 is “Archimedes”, and “Euler” for the staff room.
    We will also give names to two the media spaces next.

    数学教室には名前があります

    このページの先頭へ

  • そろばん(算盤) ものさし

    2016/07/01 
     本日7月1日を701と3ケタの数で表すと、701は素数です。西暦を含めた20160701は11で割り切れるので、素数ではありません。


    そろばん1

     そろばんは、中国から伝わり、日本で独自に発展した計算補助用具です。ここでは、20世紀前半に使用された携帯用の製品を展示しています。


    ものさし1

     竹製ものさしには、一方は「cm」の表示が入り、他方には「鯨尺」と呼ぶ木造建築や和裁で使用される特別な「尺」の単位が記されています。1尺は約38cm。(一般の尺は約30cm)


    ものさし2

     断面が三角形、平行四辺形、長方形のカラフルな木製ものさし
    デンマーク製


    ものさし3

     「素数ものさし」(竹製)は、目盛りに素数のみを記しているところが特徴です。2012年に京都大学不便益システム研究所が開発しました。


    Soroban& Rulers
    This is a portable one used during the first half of the 20th century.
    The oldest ruler in this exhibition was made by bamboo. It indicates by a metric system and an old Japanese system of measurements, “Kujira-jaku”, used for making a wooden building and kimono-making.
    There are fashionable rulers made in Denmark. Their sections are triangle, parallelogram and rectangle.
    The “Sosu Monosashi” that shows only prime number was made in Japan, 2012.

    このページの先頭へ

  • 正四面体は2等分できる?

    正四面体は2等分できる?1

    2016/06/17 
     本日6月17日を617と3ケタの数で表すと、617は素数です。西暦を含めた20160617は、53×83×4583と素因数分解できるので、素数ではありません。

     下の写真のようなピンクと紫、2つの合同な立体があります。この2つを組み合わせて右の写真のような正四面体を完成することができるでしょうか?
     答えは「必ずできる!」です。正四面体の形をしたケーキがあれば、正確に2等分して食べることができます。が、実際に組み合わせて正四面体を作ることは初めての方はなかなかできません。皆さんもぜひDoMATH へ来て、チャレンジしてみてください。

    “Can we divide a regular tetrahedron into equal parts?”
    We have two same shaped solids in the picture. One is pink, and the other is purple.
    Can we make a regular tetrahedron of the two solids?
    The answer is yes. When we have a cake that is the shape of a regular tetrahedron,
    we can eat a half of that exactly. But it is difficult for a person who tries to divide a regular tetrahedron into equal parts for the first time.
    Please come to DoMATH and try!

    正四面体は2等分できる?2    正四面体は2等分できる?3

    このページの先頭へ

  • ピタゴラスの定理パズル

    2016/06/07 
     本日6月7日を607と3ケタの数で表すことにします。607は素数です。ちなみに、西暦を加えた20160607も素数です! これらの数が素数かどうかは、本校2016年度3年生青木隆史くんが作った素数判定プログラム「PrimeFactorization」を使って判定しています。

     最初に作って展示したのが、ピタゴラスの定理(中学3年生で学びます)をパズルで遊びながら理解する教具です。元々は、生徒が夏休みの自由研究で制作したものが1台あり、それを見本にしながら教員が作りました。
     美術に興味のある方はラファエロの「アテナイの学堂」という作品をご存じでしょう。数学MS(本校3階)に展示しております。その絵の左下に、研究しているピタゴラスが描かれています。

    “Pythagorean theorem puzzles”
    Pythagorean theorem puzzles are the first things for exhibiting that we made in our museum. At first we have one that our student made as a task during summer vacation.
    There is “The School of Athens” drawn by Raffaello exhibited on the third floor in our math space. You can see Pythagoras who studies at the lower left in his work.

    ピタゴラスの定理1       ピタゴラスの定理2

このページの先頭へ